Anwendungsorientierte Aufgaben zur Differentialrechnung

 

In dieser Sammlung werden verschiedene Aufgaben angeboten, die im Unterricht oder bei den Hausaufgaben eingesetzt wurden.

1. An einer Meßstation wird während eines Regentages das Wasservolumen, das auf einen m2 fällt, automatisch registriert. Es ergibt sich eine Funktion mit der Gleichung: ; V in l, t in h; Zeitintervall [0;12].

  1. Zu welchem Zeitpunkt hat es besonders stark geregnet?
  2. Hat es irgendwann gar nicht geregnet?

 

2. Zur Herstellung eines Produktes wird eine bestimmte Flüssigkeit benötigt. Diese befindet sich in einem Vorratsbehälter und wird durch eine Rohrleitung dem Produktionsprozeß zugeführt. Aus Sicherheitsgründen sollte die Durchflußmenge in der Rohrleitung auf 1,2 m3/h begrenzt sein. Am Vorratsbehälter wird laufend das enthaltene Flüssigkeitsvolumen gemessen.

An einem Tag wurde eine Volumenfunktion mit der Gleichung

im Zeitintervall [0;13] registriert. (V in m3 und t in h)

  1. Wie groß ist die durchschnittliche Durchflußmenge im Laufe des Tages?
  2. Wurde die zuläsige Durchflußmenge an diesem Tage überschritten?
  3. Wie lang dauerte die Zeitspanne, in der die zulässige Durchflußmenge überschritten wurde?
  4. Eine eingebaute Sicherung schaltet den Prozeß ab, wenn die zuläsige Durchflußmenge um mehr als 20% überschritten wird. Begründen Sie, warum die Sicherung an dem betrachteten Tag nicht ansprach.

 

 

3. Organische Materialien können durch Bakterien in "Bio-Gas" zersetzt werden. Das erzeugte Gasvolumen werde durch die Funktion mit der Gleichung beschrieben. Dabei sei V in m3 und t in h gemessen. 

  1. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen.
  2. Wieviel Gas kann maximal erzeugt werden?
  3. 1 m3 Gas läßt sich für DM 1,50 verkaufen. Die Anlage eine Stunde zu betreiben, kostet 10 DM. Wann sollte der Vergasungsprozeß aus wirtschaftlichen Überlegungen gestoppt werden? Wieviel Prozent der möglichen Gasmenge hat man dann erzeugt?

 

4. Zwei Fahrzeuge beschleunigen. Die Geschwindigkeitsfunktiongleichungen lauten:

Dabei wird v in km/h und t in s gemessen. Betrachtet wird das Zeitintervall [0;2].

  1. Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen mit Hilfe einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem.
  2. Berechnen Sie für beide Wagen die durchschnittlichen Beschleunigungen im Intervall [0;2].
  3. Welches Fahrzeug hat im Zeitintervall [0;2] die größere Beschleunigung? Zu welchem Zeitpunkt liegt diese vor? Wie groß ist sie?

Geben Sie bei b) und c) auch die passenden Einheiten für die Beschleunigungen an.

 

5. Elektrische Geräte entnehmen dem Stromnetz Energie. Der "Stromzähler", den es in jedem Haushalt gibt, mißt diese Energie in Kilowattstunden (kWh). Mit einem solchen Zähler soll ein Registriergerät verbunden sein, das zu jedem Zeitpunkt den Zählerstand aufschreibt.

Im Verlauf von 3 Stunden wird dabei eine Energiefunktion mit folgender Gleichung gefunden:

Der Graph wurde bei dieser Klausuraufgabe für die Schülerinnen ausgedruckt.

Beispiel zu dieser Funktion : In der ersten Stunde wurden 1,34 kWh Energie entnommen. Bis zum Ende der zweiten Stunde waren es 4,5 kWh.

Wird in kurzer Zeit viel Energie benötigt, werden die elektrischen Leitungen zu heiß, und es besteht Brandgefahr. Deshalb werden Sicherungen verwendet, die den Strom unterbrechen, wenn mehr als 3,6 kWh pro Stunde an Energie entnommen werden. Wir nennen die "Energieentnahme pro Stunde" die "Energieentnahmerate".

  1. Begründen Sie, wie die Zahlen des Beispiels oben ermittelt wurden.
  2. Erläutern Sie, wie die Energieentnahmerate mathematisch ausgedrückt werden kann.
  3. Entnehmen Sie dem Graphen, zu welchem Zeitpunkt die "Energieentnahmerate" sehr groß war, und begründen Sie Ihre Antwort.
  4. Berechnen Sie die maximale "Energieentnahmerate" im Verlauf der dargestellten drei Stunden. Begründen Sie, warum die Sicherung den Stromkreis nicht unterbrochen hat. Erläutern Sie Ihre Rechnung.

Hinweis für Physiker: Fachleute nennen die "Energieentnahmerate" die "Leistung".

 

6. Gegeben ist eine Volumenfunktion durch die Gleichung

  1. Ermitteln Sie die Zuflußratenfunktion. Schreiben Sie Erläuterungen zu den einzelnen Schritten.
  2. Stellen Sie Ihr Vorgehen anschaulich an einer Graphik dar. Erläutern Sie die Graphik.
  3. Angenommen, es handele sich bei f um eine Geschwindigkeitsfunktion. Wie müssen Sie die Rechnung aus Teil a) dann interpretieren?

 

 

7. Das Volumen einer Flüssigkeitsmenge in einem Vorratsbehälter wird durch folgende Funktionsgleichung im Intervall [0;4] gegeben:

Dabei wird t in Stunden und V in m3 gemessen.

  1. Erläutern Sie, wie man den umgangssprachlichen Begriff "Flüssigkeitsverbrauch" mathematisch fassen kann. In welcher Einheit wird dann der "Flüssigkeitsverbrauch" gemessen?
  2. Bestimmen Sie den "Flüssigkeitsverbrauch" zum Zeitpunkt t = 1 h.
  3. Zu welchem Zeitpunkt ist der "Flüssigkeitsverbrauch" maximal? Wie groß ist dieser maximale Wert?

 

 

8. Betrachten Sie den Graphen der durch die folgende Gleichung gegebenen Funktion im Intervall [0;2]: 

  1. Wo ist der Graph im Intervall [0;2] am steilsten?
  2. Erfinden Sie eine Anwendungsaufgabe zu der mathematischen Untersuchung aus Teil a).

 

9. Durch einen chemischen Prozeß wird Iodwasserstoff in Iod und Wasser zersetzt. Bei der Reaktion nimmt die Konzentration von Iodwasserstoff (gemessen in mol/l) ab. Mit Hilfe von technischen Meßinstrumenten wird die Iodwasserstoffkonzentration laufend gemessen.Es ergibt sich eine Konzentrationsfunktion mit der Gleichung

Dabei ist c in mol/l und t in Minuten angegeben.

Die Chemiker verwenden für die "Konzentrationsänderung pro Zeiteinheit" den Fachbegriff "Reaktionsgeschwindigkeit". 

Nach wieviel Minuten sollte man die Reaktion abbrechen, da die Reaktionsgeschwindigkeit weniger als 0,05 mol/l/min beträgt?

Anmerkung: Diese Aufgabe verdanke ich Frau Dorothee Wosnitza, die als Studentin bei mir ein Praktikum gemacht hat und die Aufgabe in einer Stunde mit den Schülerinnen bearbeitet hat.

 

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